辗转相除法

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inline ll gcd(ll a, ll b){
    if (b == 0)
        return a;
    else
        return gcd(b, a % b);
}

扩展欧几里德算法

求二元一次方程ax + by = d，当且仅当d是gcd(a,b)的倍数时有整数解

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inline ll exGcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//返回值为gcd(a,b)
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll r=exGcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

最小正整数解((x*(d/gcd(a,b))%(b/gcd(a,b)))+(b/gcd(a,b)))%(b/gcd(a,b))

筛法求素数

埃筛

埃筛适用与判断某个数是否质数

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bool prime[MAXN];//判断
inline void eratosthense(){
	int m = sqrt(MAXN);
	prime[0] = prime[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= m; i++){
		if(prime[i]){
			continue;
		}
		for(int j = i; j * i < MAXN; j++){
			prime[i * j] = 1;
		}
	}
}

欧拉筛

线筛适用与将所有的质数提取出来

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const int N = 200000;
int isprime[N/3] = {0},num_prime = 0;//质数数组，质数数量
bool isNotPrime[N] = {1, 1};
inline void prime(void){
     for(int i = 2 ; i < N ; i ++){
		if(!isNotPrime[i])
	 		isprime[num_prime++]=i;
		for(int j = 0 ; j < num_prime && i * isprime[j] < N; j ++){
		    isNotPrime[i * isprime[j]] = 1;
	  		if(!(i % isprime[j]))
				break;
		}
	}
}

莫筛

莫筛是在欧拉筛上面做了一点手脚形成的

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const int N = 200000;   
int mu[N], sumu[N];//莫筛，莫筛前缀和
int isprime[N/3] = {0},num_prime = 0;    
int isNotPrime[N] = {1, 1};   
inline void mobius(void){
    sumu[1] = mu[1] = 1;
	for(int i = 2 ; i < N ; i ++){
		if(! isNotPrime[i]){
			isprime[num_prime ++]=i;
			mu[i] = -1;
		}
		for(int j = 0 ; j < num_prime && i * isprime[j] <  N ; j ++){               
			isNotPrime[i * isprime[j]] = 1;
			if( !(i % isprime[j] ) ) break;
			mu[isprime[j] * i] = -mu[i];
		}
	}
    for(int i = 2;i < N;i++) sumu[i] = sumu[i-1] + mu[i];
}

欧拉函数

欧拉函数，比他小的并与他互质的个数。值得一提的是，素数的欧拉值等于他本身减一。

又双叒是欧拉筛拓展

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const int N = 200000;
int isprime[N/3] = {0},num_prime = 0;//质数数组，质数数量
int phi[N];//欧拉函数
bool isNotPrime[N] = {1, 1};
inline void Eular(void){
    phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i < N; i++){
		if(!isNotPrime[i]){
	 		isprime[num_prime++]=i;
        	phi[i] = i - 1;
        }
		for(int j = 0; j < num_prime && i * isprime[j] <  N; j++){
		    isNotPrime[i * isprime[j]] = 1;
	  		if(!(i % isprime[j])){
                phi[i * isprime[j]] = phi[i] * isprime[j];
				break;
            }else
                phi[i * isprime[j]] = phi[i] * (isprime[j] - 1);
		}
	}
}

唯一分解定理

求一数的因子对数，欧拉yyds

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const int N = 200000;
int isprime[N/3] = {0},num_prime = 0;//质数数组，质数数量    
bool isNotPrime[N] = {1, 1};
inline void prime(void){
     for(int i = 2; i < N; i++){
		if(!isNotPrime[i])
	 		isprime[num_prime++]=i;
		for(int j = 0; j < num_prime && i * isprime[j] < N; j++){
		    isNotPrime[i * isprime[j]] = 1;
	  		if(!(i % isprime[j]))
				break;
		}
	}
}
inline int font(int n){
    int ans;
    if(n == 0) return 0;
    int cnt = 0;
    int i;
    while(isprime[i] < n && i < num_prime){
        cnt = 0;
        if(num % isprime[i] == 0){
            while(num % isprime[i] == 0){
                cnt++;
                n /= isprime[i];
            }
        }
        ans *= cnt+1;
        i++;
    }
    if(n > 1){
        ans *= 2;
    }
    return ans;
}

求最小因子

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const int maxn = 1e7+5;
int isprime[maxn/3] = {0},num_prime = 0;
int MinFactor[maxn];
inline void FindMinFactor(int n){
    MinFactor[1] = 1;
    for(int i = 2; i < n; i++){
		if(!MinFactor[i]){
	 		isprime[num_prime++]=i;
            MinFactor[i] = i;
        }
		for(int j = 0; i * isprime[j] < n && j < num_prime; j++){
            Minfactor[i * isprime[j]] = isprime[j];
	  		if(!(i % isprime[j]))
				break;
		}
	}
}

调和级数求和

当n很大时，f(n)≈ln(n)+C+1/2*n 其中C≈0.57721566490153286060651209

当n不是很大时，打表

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const int maxn = 1e6+5;
const double c = 0.57721566490153286060651209;
double ans[1000006];
inline void init(void){
    double a = 0;
    for(int i = 1;i < maxn;i++){
        a += (1.0 / (double)i);
        ans[i] = a;
    }
}
signed main(void){
    ll t;
    read(t);
    init();
    for(ll Case = 1;Case <= t;Case++){
        ll n;
        read(n);
        double a;
        if(n < maxn){
            a = ans[n];
        }else{
            a = log(n) + c + (1.0) / (2 * n);
        }
        printf("Case %lld: %.10lf\n",Case, a);
    }
    return 0;
}

康托展开

给定一个1~n的排列，求该排列在1~n的全排列中，按字典序排名多少位。

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int num[100];
int factorial[100]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};
inline int cantor(int n, int num[100]){//num排列
    int X=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int a_i=0;
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            if(num[i]>num[j]) a_i++;
        }
        X+=a_i*factorial[n-i];
    }
    X=X+1;
    return X;
}

逆康托展开

给定一个1~n的排列，求在该排列在1~n的全排列中，按字典序第k位所对应的排列。

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int factorial[100]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};
void decantor(int x,int n){//x排名，n位数
    vector<int> v;
    vector<int> ans;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v.push_back(i);
    for(int i=m;i>=1;i--){
        int r=x%factorial[i-1];
        int t=x/factorial[i-1];
        x=r;
        sort(v.begin(),v.end());
        ans.push_back(v[t]);
        v.erase(v.begin()+t);
    }
}

同余定理

  • (a+b)%c=(a%c+b%c)%c;

  • (a*b)%c=(a%c*b%c)%c；

求逆元

加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果，但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数，如果原本的结果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。

法一：扩展欧几里得

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int x, y;
int extgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if (b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a/b) * y;
    return gcd;
}

组合数

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const int maxn = 200000 + 5;
const int mod = (int)1e9 + 7;
ll F[maxn], Finv[maxn], inv[maxn];//F是阶乘，Finv是逆元的阶乘 
inline void comb_init(){
    inv[1] = 1;
    for(ll i = 2; i < maxn; i ++){
        inv[i] = (mod - mod / i) * 1ll * inv[mod % i] % mod;
    }
    F[0] = Finv[0] = 1;
    for(ll i = 1; i < maxn; i ++){
        F[i] = F[i-1] * 1ll * i % mod;
        Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % mod;
    }
}
inline ll comb(ll n, ll m){//comb(n, m)就是C(n, m) 
    if(m < 0 || m > n) return 0;
    return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % mod * Finv[m] % mod;
}

快速幂

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inline ll PowerMod(ll a, ll b, ll c){
	ll ans = 1;
	a = a % c;
	while(b>0){
		if(b % 2 == 1)
			ans = ((ans % c) * (a % c)) % c;
		b = b/2;
		a = (a * a) % c;
	}
	return ans;
}

快速幂取前k位

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inline double check(double x, double mod){
    while(x >= mod){
        x /= 10.0;
    }
    return x;
}
inline ll PowerMod(ll a, ll b, ll k){
    double a1 = (double)a;
	double ans = 1.0;
    double mod = 1.0;
    for(ll i = 0;i < k;i++) mod*=10.0;
	while(b>0){
	    if(b % 2 == 1){
            ans = ans * a1;
            ans = check(ans, mod);
        }
	    b = b/2;
	    a1 = (a1 * a1);
        a1 = check(a1, mod);
	}
	return (ll)ans;
}

三角形面积

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double Heron(double a, double b, double c){
	double p,S;
 	p=(a+b+c)/2;
 	S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
 	return S;
}

三点顺序

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int func(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3){
	if(x1 == 0 && y1 == 0 && x2 == 0 && y2 == 0 && x3 == 0 && y3 == 0)break;
	int A = x2 - x1;
	int B = y2 - y1;
	int C = x3 - x1;
	int D = y3 - y1;
	if(A*D - B*C > 0) return 0;
	else return 1;
}

大数操作

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const int MAXN = 9999;  
const int MAXSIZE = 10;  
const int DLEN = 4;
class BigNum  
{  
private:  
    int a[500];    //可以控制大数的位数  
    int len;       //大数长度  
public:  
      
    BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); }   //构造函数  
    BigNum(const int);       //将一个int类型的变量转化为大数  
    BigNum(const char*);     //将一个字符串类型的变量转化为大数  
    BigNum(const BigNum &);  //拷贝构造函数  
    BigNum &operator=(const BigNum &);   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算  
  
    friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);   //重载输入运算符  
    friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);   //重载输出运算符  
  
    BigNum operator+(const BigNum &) const;   //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算  
    BigNum operator-(const BigNum &) const;   //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算  
    BigNum operator*(const BigNum &) const;   //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算  
    BigNum operator/(const int   &) const;    //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算  
  
    BigNum operator^(const int  &) const;    //大数的n次方运算  
    int    operator%(const int  &) const;    //大数对一个int类型的变量进行取模运算  
    bool   operator>(const BigNum & T)const;   //大数和另一个大数的大小比较  
    bool   operator>(const int & t)const;      //大数和一个int类型的变量的大小比较  
  
    void print();       //输出大数  
};  
BigNum::BigNum(const int b)     //将一个int类型的变量转化为大数  
{  
    int c,d = b;  
    len = 0;  
    memset(a,0,sizeof(a));  
    while(d > MAXN)  
    {  
        c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);  
        d = d / (MAXN + 1);  
        a[len++] = c;  
    }  
    a[len++] = d;  
}  
BigNum::BigNum(const char*s)     //将一个字符串类型的变量转化为大数  
{  
    int t,k,index,l,i;  
    memset(a,0,sizeof(a));  
    l=strlen(s);  
    len=l/DLEN;  
    if(l%DLEN)  
        len++;  
    index=0;  
    for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN)  
    {  
        t=0;  
        k=i-DLEN+1;  
        if(k<0)  
            k=0;  
        for(int j=k;j<=i;j++)  
            t=t*10+s[j]-'0';  
        a[index++]=t;  
    }  
}  
BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)  //拷贝构造函数  
{  
    int i;  
    memset(a,0,sizeof(a));  
    for(i = 0 ; i < len ; i++)  
        a[i] = T.a[i];  
}  
BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)   //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算  
{  
    int i;  
    len = n.len;  
    memset(a,0,sizeof(a));  
    for(i = 0 ; i < len ; i++)  
        a[i] = n.a[i];  
    return *this;  
}  
istream& operator>>(istream & in,  BigNum & b)   //重载输入运算符  
{  
    char ch[MAXSIZE * 4];  
    int i = -1;  
    in>>ch;  
    int l=strlen(ch);  
    int count=0,sum=0;  
    for(i=l-1;i>=0;)  
    {  
        sum = 0;  
        int t=1;  
        for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10)  
        {  
            sum+=(ch[i]-'0')*t;  
        }  
        b.a[count]=sum;  
        count++;  
    }  
    b.len =count++;  
    return in;  
  
}  
ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b)   //重载输出运算符  
{  
    int i;  
    cout << b.a[b.len - 1];  
    for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--)  
    {  
        cout.width(DLEN);  
        cout.fill('0');  
        cout << b.a[i];  
    }  
    return out;  
}  
  
BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相加运算  
{  
    BigNum t(*this);  
    int i,big;      //位数  
    big = T.len > len ? T.len : len;  
    for(i = 0 ; i < big ; i++)  
    {  
        t.a[i] +=T.a[i];  
        if(t.a[i] > MAXN)  
        {  
            t.a[i + 1]++;  
            t.a[i] -=MAXN+1;  
        }  
    }  
    if(t.a[big] != 0)  
        t.len = big + 1;  
    else  
        t.len = big;  
    return t;  
}  
BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相减运算  
{  
    int i,j,big;  
    bool flag;  
    BigNum t1,t2;  
    if(*this>T)  
    {  
        t1=*this;  
        t2=T;  
        flag=0;  
    }  
    else  
    {  
        t1=T;  
        t2=*this;  
        flag=1;  
    }  
    big=t1.len;  
    for(i = 0 ; i < big ; i++)  
    {  
        if(t1.a[i] < t2.a[i])  
        {  
            j = i + 1;  
            while(t1.a[j] == 0)  
                j++;  
            t1.a[j--]--;  
            while(j > i)  
                t1.a[j--] += MAXN;  
            t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];  
        }  
        else  
            t1.a[i] -= t2.a[i];  
    }  
    t1.len = big;  
    while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1)  
    {  
        t1.len--;  
        big--;  
    }  
    if(flag)  
        t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];  
    return t1;  
}  
  
BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const   //两个大数之间的相乘运算  
{  
    BigNum ret;  
    int i,j,up;  
    int temp,temp1;  
    for(i = 0 ; i < len ; i++)  
    {  
        up = 0;  
        for(j = 0 ; j < T.len ; j++)  
        {  
            temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;  
            if(temp > MAXN)  
            {  
                temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);  
                up = temp / (MAXN + 1);  
                ret.a[i + j] = temp1;  
            }  
            else  
            {  
                up = 0;  
                ret.a[i + j] = temp;  
            }  
        }  
        if(up != 0)  
            ret.a[i + j] = up;  
    }  
    ret.len = i + j;  
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)  
        ret.len--;  
    return ret;  
}  
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const   //大数对一个整数进行相除运算  
{  
    BigNum ret;  
    int i,down = 0;  
    for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--)  
    {  
        ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;  
        down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;  
    }  
    ret.len = len;  
    while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1)  
        ret.len--;  
    return ret;  
}  
int BigNum::operator %(const int & b) const    //大数对一个int类型的变量进行取模运算  
{  
    int i,d=0;  
    for (i = len-1; i>=0; i--)  
    {  
        d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;  
    }  
    return d;  
}  
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const    //大数的n次方运算  
{  
    BigNum t,ret(1);  
    int i;  
    if(n<0)  
        exit(-1);  
    if(n==0)  
        return 1;  
    if(n==1)  
        return *this;  
    int m=n;  
    while(m>1)  
    {  
        t=*this;  
        for( i=1;i<<1<=m;i<<=1)  
        {  
            t=t*t;  
        }  
        m-=i;  
        ret=ret*t;  
        if(m==1)  
            ret=ret*(*this);  
    }  
    return ret;  
}  
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const   //大数和另一个大数的大小比较  
{  
    int ln;  
    if(len > T.len)  
        return true;  
    else if(len == T.len)  
    {  
        ln = len - 1;  
        while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0)  
            ln--;  
        if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln])  
            return true;  
        else  
            return false;  
    }  
    else  
        return false;  
}  
bool BigNum::operator >(const int & t) const    //大数和一个int类型的变量的大小比较  
{  
    BigNum b(t);  
    return *this>b;  
}  
  
void BigNum::print()    //输出大数  
{  
    int i;  
    cout << a[len - 1];  
    for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--)  
    {  
        cout.width(DLEN);  
        cout.fill('0');  
        cout << a[i];  
    }  
    cout << endl;  
}